Question

17．已知集合A={1，2，3，4}，函数f（x）的定义域、值域都是A，且对于任意i∈A，f（i）≠i，设a₁，a₂，a₃，a₄是1，2，3，4的任意一个排列，定义数表$（\begin{array}{l}{{a}_{1}}&{{a}_{2}}&{{a}_{3}}&{{a}_{4}}\\{f（{a}_{1}）}&{f（{a}_{2}）}&{f（{a}_{3}）}&{f（{a}_{4}）}\end{array}）$，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表．
（1）求满足条件的不同的数表的张数；
（2）若a₁=i（i=1，2，3，4），从所有数表中任意抽取一张，记ξ为表中a₁＞f（i）的个数，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析 （1）需要分步计数，首先排列a₁，a₂，a₃，a₄，是1，2，3，4的任意一个排列，共有A₄⁴种结果，再排列a₁，a₂，a₃，a₄，对应的函数值，根据f（i）≠i．得到第一个函数值有3种结果，后面几个函数值依次是3，1，1，根据分步计数原理得到结果．
（2）根据题目得出随机变量的ξ的取值为1，2，3，确定总共事件为3×3×1×1=9，
运用数据特征得出当ξ=1，有1个事件，当ξ=2，有7个事件，当ξ=3，有1个事件，再根据概率公式求解即可．

解答 （1）解：由题意知本题需要分步计数来解，
首先排列a₁，a₂，a₃，a₄，是1，2，3，4的任意一个排列，共有A₄⁴=24，种结果，
再排列a₁，a₂，a₃，a₄，对应的函数值，
∵f（i）≠i．
∴第一个函数值有3种结果，后面几个函数值依次是3，1，1，共有3×3=9种结果，
根据分步计数原理知共有24×9=216种结果
（2）∵根据题意得出：随机变量的ξ的取值为1，2，3，
总共事件为3×3×1×1=9，
当ξ=1，有1个事件，
当ξ=2，有7个事件，
当ξ=3，有1个事件，
∴P（ξ=1）=$\frac{1}{9}$，
P（ξ=2）=$\frac{7}{9}$，
P（ξ=3）=$\frac{1}{9}$，
分布列为：

ξ	1	2	3
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{7}{9}$	$\frac{1}{9}$

E（ξ）=1×$\frac{1}{9}$$+2×\frac{7}{9}$$+3×\frac{1}{9}$=2．

点评 本题考查分步计数原理，考查函数的概念及其构成要素，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决，求解相应的事件个数．