Question

11．在数列{a_n}（n∈N^*）中，已知a₁=1，a_2k=-a_k，a_2k-1=（-1）^k+1a_k，k∈N^*，记数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求S₅、S₇的值；
（2）求证：对任意n∈N^*，S_n≥0．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，a_2k=-a_k，a_2k-1=（-1）^k+1a_k，k∈N^*，分别取k=1，2，3，4即可得出．
（2）由（1）可得：a₁=1，a₂=-1，a₃=1，a₄=1，a₅=1，a₆=-1，a₇=-1，a₈=-1．a₉=1，a₁₀=-1，…，可得a_n+8=a_n．可得S_k≥0，（k=1，2，…，8），即可证明．

解答 （1）解：∵a₁=1，a_2k=-a_k，a_2k-1=（-1）^k+1a_k，k∈N^*，
∴a₂=-a₁=-1，a₃=-a₂=1，a₄=-a₂=1，a₅=a₃=1，a₆=-a₃=-1，a₇=-a₄=-1．
∴S₅=1-1+1+1+1=3，
S₇=S₅-1-1=1．
（2）证明：由（1）可得：a₁=1，a₂=-1，a₃=1，a₄=1，a₅=1，a₆=-1，a₇=-1，a₈=-1．
a₉=（-1）⁶a₅=1，a₁₀=-a₅=-1，…，
可得a_n+8=a_n．
而S₁=a₁=1＞0，S₂=0，S₃=1＞0，S₄=2＞0，S₅=3＞0，S₆=2＞0，S₇=1＞0，S₈=0．
∴对任意n∈N^*，S_n≥0．

点评 本题考查了递推式的应用、数列的周期性、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．