Question

6．正数a，b满足$\frac{1}{a}+\frac{9}{b}$=1，若不等式a+b≥-x²+4x+18-m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是m≥6．

Answer 1

分析 求出a+b=（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{9}{b}$）=10+$\frac{b}{a}$+$\frac{9a}{b}$≥10+6=16（当且仅当b=3a时取等号），问题转化为m≥-x²+4x+2对任意实数x恒成立，即可求出实数m的取值范围．

解答 解：由题意，m≥-x²+4x+18-（a+b）
∵正数a，b满足$\frac{1}{a}+\frac{9}{b}$=1，
∴a+b=（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{9}{b}$）=10+$\frac{b}{a}$+$\frac{9a}{b}$≥10+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{9a}{b}}$=10+6=16（当且仅当b=3a时取等号）．
∴m≥-x²+4x+2对任意实数x恒成立，
即m≥-（x-2）²+6对任意实数x恒成立，
∵-（x-2）²+6的最大值为6，
∴m≥6，
故答案为：m≥6．

点评 本题考查求实数m的取值范围，考查基本不等式的运用，考查函数的最值，属于中档题．