Question

11．若不等式$\frac{1}{x-y}$+$\frac{1}{y-z}$+$\frac{λ}{z-x}$≥0对x＞y＞z恒成立，则λ的取值范围是（-∞，4]．

Answer 1

分析 由题意得到$\frac{（x-z）^{2}}{（x-y）（y-z）}$≥λ，巧设x-y=a，y-z=b，利用基本不等式即可求出λ的范围．

解答 解：∵$\frac{1}{x-y}$+$\frac{1}{y-z}$+$\frac{λ}{z-x}$≥0，
∴$\frac{1}{x-y}$+$\frac{1}{y-z}$≥-$\frac{λ}{z-x}$，
∵x＞y＞z，
∴$\frac{z-x}{x-y}$+$\frac{z-x}{y-z}$≤-λ，
∴$\frac{（x-z）（z-x）}{（x-y）（y-z）}$≤-λ，
∴$\frac{（x-z）^{2}}{（x-y）（y-z）}$≥λ，
此时令x-y=a，y-z=b，
上式就变成了$\frac{（a+b）^{2}}{ab}$≥λ，
∵a+b≥2$\sqrt{ab}$，
∴（a+b）²≥4ab，
∴λ≤4，当且仅当a=b（即x-y=y-z）时成立，
∴λ的取值范围是（-∞，4]，
故答案为：（-∞，4]．

点评 本题考查了基本不等式的应用，本题的关键是令x-y=a，y-z=b，属于中档题．