Question

3．已知集合A={x|x²-ax+x-a＞0}，B={x|$\frac{1}{x-a-1}$≤-1}，a∈R．
（1）求A和B；
（2）是否存在实数a使得A∪B=R，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据不等式的性质，即可求A和B；
（2）根据条件A∪B=R，确定不等式端点之间的关系进行求解即可．

解答 解：（1）由x²-ax+x-a＞0得（x-a）（x+1）＞0，
即①若a≥-1，则x＞a或x＜-1，即A=（-∞，-1）∪（a，+∞）；
②a＜-1，则x＞-1或x＜a，即A=（-∞，a）∪（-1，+∞），
B={x|$\frac{1}{x-a-1}$≤-1}={x|$\frac{1}{x-a-1}$+1=$\frac{x-a}{x-a-1}$≤0}={x|a≤x＜a+1}，
（2）若A∪B=R，
则当a≥-1时，不满足A∪B=R，
当a＜-1时，则满足a+1＞-1，即a＞-2，
此时-2＜a＜-1，
即存在-2＜a＜-1使得A∪B=R．

点评 本题主要考查集合的基本运算，根据不等式的解法是解决本题的关键．