Question

13．在数学研究性学习活动中，某小组要测量河对面A和B两个建筑物的距离，在河一侧取C、D两点，如图所示，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得∠BAC=α，∠ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA=?．
（1）试求A、C之间的距离及B、C之间的距离．
（2）若a=50米，α=75°，β=30°，γ=45°，?=75°，求河对岸建筑物A、B之间的距离？

Answer 1

分析 （1）在△ADC、△DBC中，分别用正弦定理，即可求解；
（2）利用正弦定理，求出AC，BC，在△ABC中，由余弦定理得AB．

解答 解：（1）在△ADC中，∠ADC=?+γ，∠DAC=180°-（β+?+γ），CD=a．
由正弦定理，得AC=$\frac{asin（?+γ）}{sin（β+?+γ）}$．    …（3分）
在△DBC中，∠BDC=γ，∠DBC=180°-（α+β+γ），CD=a，．
由正弦定理，得BC=$\frac{asinγ}{sin（α+β+γ）}$   …（6分）
（2）a=50米，α=75°，β=30°，γ=45°，?=75°时，
AC=$\frac{50×sin（75°+45°）}{sin（30°+75°+45°）}$=50$\sqrt{3}$，…（8分）
BC=$\frac{50sin45°}{sin（75°+30°+45°）}$=50$\sqrt{2}$，…（9分）
在△ABC中，由余弦定理得AB=$\sqrt{7500+5000-2×50\sqrt{3}×50\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$=25（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$），…（10分）．
所以，河对岸建筑物A、B的距离为25（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）米． …（13分）

点评 本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．