Question

18．横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽的和高度应是多少？

Answer 1

分析 据题意横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比（强度系数为k，k＞0）建立起强度函数，求出函数的定义域，再利用求导的方法求出函数取到最大值时的横断面的值．

解答 解：设断面高为h，则h²=d²-x²．
横梁的强度函数f（x）=k•xh²，
所以f（x）=kx•（d²-x²），0＜x＜d．（5分）
当x∈（0，d）时，令f′（x）=k（d²-3x²）=0．（7分）
解得x=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$d（舍负）．（8分）
当0＜x＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$d时，f′（x）＞0；（9分）
当$\frac{\sqrt{3}}{3}$d＜x＜d时，f′（x）＜0．（10分）
因此，函数f（x）在定义域（0，d）内只有一个极大值点x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$d．
所以f（x）在x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$d处取最大值，就是横梁强度的最大值．（12分）
即当断面的宽为$\frac{\sqrt{3}}{3}$d，高为$\frac{\sqrt{6}}{3}$d时，横梁的强度最大．（13分）

点评 考查据实际意义建立相关的函数，再根据函数的特征选择求导的方法来求最值．