Question

5．若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}-\frac{1}{x}，\;\;0＜\;x≤4\\ lnx-1，\;\;\;\;\;\;x＞4\end{array}$在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值为2．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求不等式f（x）＜1的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）易知f（x）=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{x}$在[$\frac{1}{2}$，2]上单调递增，从而可得f（2）=2，从而解得a；
（Ⅱ）由（I）知，分0＜x≤4与x＞4时分别解不等式f（x）＜1，从而得到不等式的解集即可．

解答 解：（Ⅰ）由分段函数知，
f（x）=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{x}$在[$\frac{1}{2}$，2]上单调递增，
∴f（2）=2，
即$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{2}$=2，
解得，a=$\frac{2}{5}$；
（Ⅱ）由（I）知，
当0＜x≤4时，$f（x）=\frac{5}{2}-\frac{1}{x}＜1$，
解得$0＜x＜\frac{2}{3}$；
当x＞4时，
f（x）=lnx-1＜1，
解得4＜x＜e²，
综上所述，不等式的解集为（0，$\frac{2}{3}$）∪（4，e²）．

点评 本题考查了分段函数的应用，同时考查了分类讨论的思想应用及反比例函数与对数函数的性质应用，属于中档题．