Question

7．已知在△ABC中，∠A=60°，a=1，则b+c的取值范围为（1，2]．．

Answer 1

分析 先根据正弦定理求出2R并表示出AB+AC即b+c；再结合辅助角公式以及角B的和正弦函数的单调性即可得到答案．

解答 解：∵$\frac{a}{sinA}=2R$，
∴2R=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，R=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴c+b=2R（sinC+sinB）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[sinB+sin（120°-B）]=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×（$\frac{3}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB）
=2sin（B+30°）
∵30°＜B+30°＜150°，
∴1＜2sin（B+30°）≤2；
∴c+b∈（1，2]．
故答案为：（1，2]．

点评 本题主要考查正弦定理的应用以及辅助角公式的应用．解决这类问题的关键在于对公式的熟练掌握以及灵活运用，属于基本知识的考查．