Question

18．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²$\frac{nπ}{2}$）a_n+sin²$\frac{nπ}{2}$，则该数列的前12项和为（　　）

• A． 211
• B． 212
• C． 126
• D． 147

Answer 1

分析 a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²$\frac{nπ}{2}$）a_n+sin²$\frac{nπ}{2}$，可得a₃=a₁+1=2，a₄=2a₂=4，…，a_2k-1=a_2k-3+1，a_2k=2a_2k-2，（k∈N^*，k≥2）．因此数列{a_2k-1}成等差数列，数列{a_2k}成等比数列．利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²$\frac{nπ}{2}$）a_n+sin²$\frac{nπ}{2}$，
∴a₃=a₁+1=2，
a₄=2a₂=4，
…，
a_2k-1=a_2k-3+1，
a_2k=2a_2k-2，（k∈N^*，k≥2）．
∴数列{a_2k-1}成等差数列，数列{a_2k}成等比数列．
∴该数列的前12项和为=（a₁+a₃+…+a₁₁）+（a₂+a₄+…+a₁₂）=（1+2+…+6）+（2+2²+…+2⁶）
=$\frac{6×（1+6）}{2}$+$\frac{2（{2}^{6}-1）}{2-1}$=21+2⁷-2=147．
故选：D．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．