Question

18．对于定义在给定区间[a，b]上的函数f（x），g（x），若存在k∈（a，b），使得f（k）=g（k）．则我们称函数f（x）与g（x）在区间[a，b]上是可粘合的，x=k为粘点，并记F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x∈[a，k]}\\{g（x），x∈（k，b]}\end{array}$为f（x）与g（x）的粘合函数．
（1）若x=2是函数f（x）=2^x+3m与g（x）=m²log₂x在区间[1，4]上是一个粘点，求实数m的值；
（2）若函数f（x）=cosx与g（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，π]的中点处的粘合函数F（x）的图象关于过粘点的直线对称，试作出F（x）的大致图象，并写出解析式．
（3）若函数f（x）=p（cosx+3）-2与 g（x）=$\sqrt{3}$psinx在任何R的子区间[a，b]上均不是可粘合的，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由x=2是函数f（x）=2^x+3m与g（x）=m²log₂x在区间[1，4]上是一个粘点可得2²+3m=m²log₂2，从而解得；
（2）作函数f（x）=cosx在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{4}$]上的图象，再关于直线x=$\frac{π}{4}$对称即可，由图象写出解析式即可；
（3）由函数f（x）=p（cosx+3）-2与 g（x）=$\sqrt{3}$psinx在任何R的子区间[a，b]上均不是可粘合的知F（x）=p（cosx+3）-2-$\sqrt{3}$psinx=2pcos（x+$\frac{π}{3}$）+3p-2在R恒大于0或恒小于0；从而分类讨论转化为最值问题即可．

解答 解：（1）∵x=2是函数f（x）=2^x+3m与g（x）=m²log₂x在区间[1，4]上是一个粘点，
∴2²+3m=m²log₂2，
解得，m=4或m=-1；
（2）区间[-$\frac{π}{2}$，π]的中点为$\frac{π}{4}$，
故作函数f（x）=cosx在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{4}$]上的图象，再关于直线x=$\frac{π}{4}$对称，如下图；

其解析式为F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{cosx，x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{4}]}\\{cos（\frac{π}{2}-x），x∈（\frac{π}{4}，π]}\end{array}\right.$；
（3）∵函数f（x）=p（cosx+3）-2与 g（x）=$\sqrt{3}$psinx在任何R的子区间[a，b]上均不是可粘合的，
∴F（x）=p（cosx+3）-2-$\sqrt{3}$psinx=2pcos（x+$\frac{π}{3}$）+3p-2在R恒大于0或恒小于0；
①当p=0时，F（x）=-2＜0恒成立；
②当p＜0时，
-2p+3p-2＜0或2p+3p-2＞0；
解得，p＜0；
③当p＞0时，
2p+3p-2＜0或-2p+3p-2＞0，
解得，0＜p＜$\frac{2}{5}$或p＞2；
综上所述，p＜$\frac{2}{5}$或p＞2．

点评 本题考查了学生的作图能力及函数的性质的综合应用，同时考查了学生对新定义的接受能力，属于难题．