Question

8．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=$\frac{1}{2}$，S_n=n²a_n-n（n-1），n=1，2，…
（1）证明：数列{$\frac{n+1}{n}$S_n}是等差数列，并求S_n；
（2）设b_n=S_n×$\frac{{4}^{n}-（-2）^{n}}{{n}^{2}}$×（n+1），数列{b_n}前n项的和为T_n，求证：T_n＜$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）把a_n=S_n-S_n-1（n≥2）代入S_n=n²a_n-n（n-1），即可得到$\frac{n+1}{n}{S}_{n}-\frac{n}{n-1}{S}_{n-1}=1$（n≥2），从而说明数列{$\frac{n+1}{n}$S_n}是公差为1的等差数列，由等差数列的通项公式求得${S}_{n}=\frac{{n}^{2}}{n+1}$；
（2）把S_n代入b_n=S_n×$\frac{{4}^{n}-（-2）^{n}}{{n}^{2}}$×（n+1），整理后分组，由等比数列的前n项和得答案．

解答 （1）证明：由S_n=n²a_n-n（n-1），得${S}_{n}={n}^{2}（{S}_{n}-{S}_{n-1}）-n（n-1）$（n≥2），
即$（{n}^{2}-1）{S}_{n}-{n}^{2}{S}_{n}=n（n-1）$，即$\frac{n+1}{n}{S}_{n}-\frac{n}{n-1}{S}_{n-1}=1$（n≥2），
∴数列{$\frac{n+1}{n}$S_n}是公差为1的等差数列，
又首项为$\frac{2}{2-1}{S}_{1}=2{a}_{1}=2×\frac{1}{2}=1$，
∴$\frac{n+1}{n}$S_n=1+（n-1）×1=n，
则${S}_{n}=\frac{{n}^{2}}{n+1}$；
（2）解：b_n=S_n×$\frac{{4}^{n}-（-2）^{n}}{{n}^{2}}$×（n+1）=$\frac{{n}^{2}}{n+1}×$$\frac{{4}^{n}-（-2）^{n}}{{n}^{2}}$×（n+1）=4ⁿ-（-2）ⁿ，
∴T_n=（4¹+4²+…+4ⁿ）-[（-2）¹+（-2）²+…+（-2）ⁿ]
=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$-$\frac{-2[1-（-2）^{n}]}{1+2}$=$\frac{{4}^{n+1}-（-1）^{n}•{2}^{n+1}-2}{3}$．

点评 本题考查了等差关系的确定，考查了等差数列的前n项和与数列的分组求和，考查了等比数列的前n项和公式，是中档题．