Question

16．已知函数f（x）=ax+$\frac{b}{x}$（a＞0）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y-1=0垂直
（1）求log₄（a-b）的值
（2）若g（x）=f（x）-2lnx在区间[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得a-b=2，再由对数的性质，即可得到所求值；
（2）求出g（x）的导数，由题意可得g′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立．运用参数分离和函数的单调性即可得到a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=ax+$\frac{b}{x}$（a＞0）的导数为f′（x）=a-$\frac{b}{{x}^{2}}$，
在点（1，f（1））处的切线斜率为k=a-b，切点为（1，a+b），
由切线与直线x+2y-1=0垂直，
则（a-b）•（-$\frac{1}{2}$）=-1，即为a-b=2，
即有log₄（a-b）=log₄2=$\frac{1}{2}$；
（2）g（x）=f（x）-2lnx=ax+$\frac{a-2}{x}$-2lnx，
g′（x）=a-$\frac{a-2}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$，
由于g（x）在区间[1，+∞）上单调递增，
即有g′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立．
即a（x²-1）≥2（x-1），
当x=1时，上式显然成立；
当a＞1时，a≥$\frac{2}{x+1}$在区间[1，+∞）上恒成立．
由于0＜$\frac{2}{x+1}$＜1，则a≥1．
即有a的取值范围为[1，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性的判断，主要考查导数的几何意义和函数的单调性的运用，运用参数分离和不等式恒成立思想是解题的关键．