某同学利用图形计算器研究教材中一例问题“设点A.B的坐标分别为.直线AM.BM相交于M.且它们的斜率之积为$-\frac{4}{9}$．求点M的轨迹方程时.将其中的已知条件“斜率之积为$-\frac{4}{9}$ 拓展为“斜率之积为常数k 之后.进行了如图所示的作图探究:参考该同学的探究.下列结论错误的是( )A．k＞0时.点M的轨迹为焦点在x轴的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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7．某同学利用图形计算器研究教材中一例问题“设点A、B的坐标分别为（-5，0）、（5，0），直线AM、BM相交于M，且它们的斜率之积为$-\frac{4}{9}$．求点M的轨迹方程”时，将其中的已知条件“斜率之积为$-\frac{4}{9}$”拓展为“斜率之积为常数k（k≠0）”之后，进行了如图所示的作图探究：

参考该同学的探究，下列结论错误的是（　　）

	A．	k＞0时，点M的轨迹为焦点在x轴的双曲线（不含与x轴的交点）
	B．	-1＜k＜0时，点M的轨迹为焦点在x轴的椭圆（不含与x轴的交点）
	C．	k＜-1时，点M的轨迹为焦点在y轴的椭圆（不含与x轴的交点）
	D．	k＜0时，点M的轨迹为椭圆（不含与x轴的交点）

分析设M（x，y），则k_AM=$\frac{y-0}{x+5}$，k_MB=$\frac{y-0}{x-5}$，则由题意可得，$\frac{y-0}{x+5}$•$\frac{y-0}{x-5}$=k，故y²=k（x²-25），分类讨论可得结论．

解答解：设M（x，y），则k_AM=$\frac{y-0}{x+5}$，k_MB=$\frac{y-0}{x-5}$
则由题意可得，$\frac{y-0}{x+5}$•$\frac{y-0}{x-5}$=k
故y²=k（x²-25）
若k=-1，则可化为y²+x²=25，表示了以原点为圆心，1为半径的圆（除A，B点）；
若k＜-1，则可化为$\frac{{y}^{2}}{-25k}+\frac{{x}^{2}}{25}=1$，表示了焦点在y轴，以A、B为短轴端点的椭圆（除A，B点）；
-1＜k＜0时，则可化为$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{-25k}=1$，点M的轨迹为焦点在x轴的椭圆（不含与x轴的交点）；
k＞0时，点M的轨迹为焦点在x轴的双曲线（不含与x轴的交点），
故选：D．

点评本题考查曲线与方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．

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