Question

18．用定义法证明函数f（x）=2x³-6x²+7在（0，2）上单调递减．

Answer 1

分析 根据减函数的定义，设x₁，x₂∈（0，2），且x₁＜x₂，通过作差f（x₁）-f（x₂），通过立方差、平方差公式，及提取公因式的方法证明f（x₁）＞f（x₂）即可．

解答 证明：设x₁，x₂∈（0，2），且x₁＜x₂，则：
f（x₁）-f（x₂）=$2（{{x}_{1}}^{3}-{{x}_{2}}^{3}）-6（{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}）$=$2（{x}_{1}-{x}_{2}）[（{{x}_{1}}^{2}-2{x}_{1}）+（{{x}_{2}}^{2}-2{x}_{2}）+\frac{{x}_{1}{x}_{2}-2{x}_{1}}{2}+\frac{{x}_{1}{x}_{2}-2{x}_{2}}{2}]$
=2（x₁-x₂）[x₁（x₁-2）+x₂（x₂-2）$+\frac{{x}_{1}（{x}_{2}-2）}{2}+\frac{{x}_{2}（{x}_{1}-2）}{2}$]；
∵x₁，x₂∈（0，2），且x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0，x₁-2＜0，x₂-2＜0，x₁（x₁-2）+x₂（x₂-2）$+\frac{{x}_{1}（{x}_{2}-2）}{2}+\frac{{x}_{2}（{x}_{1}-2）}{2}$＜0；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（0，2）上单调递减．

点评 本题考查减函数的定义，利用定义证明一个函数为减函数的方法与过程，立方差、平方差公式，在作差时可考虑提取公因式x₁-x₂．