Question

14．设$\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{j}$是平面直角坐标系中x轴和y轴正方向上的单位向量，$\overrightarrow{AB}$=4$\overrightarrow{i}$-2$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{AC}$=7$\overrightarrow{i}$+4$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{AD}$=3$\overrightarrow{i}$+6$\overrightarrow{j}$，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 根据向量坐标之间的关系，判断四边形ABCD是矩形，结合向量坐标求出对应长度即可得到结论．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}$=4$\overrightarrow{i}$-2$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{AC}$=7$\overrightarrow{i}$+4$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{AD}$=3$\overrightarrow{i}$+6$\overrightarrow{j}$，
∴$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$=7$\overrightarrow{i}$+4$\overrightarrow{j}$=$\overrightarrow{AC}$，
∴四边形ABCD是平行四边形，
则$\overrightarrow{AB}$=（4，-2）$\overrightarrow{AC}$=（7，4），$\overrightarrow{AD}$=（3，6），
则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=（4，-2）•（3，6）=12-12=0，
即$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AD}$，则AB⊥AD，
即四边形ABCD是矩形，
则|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{{4}^{2}+（-2）^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
|$\overrightarrow{AD}$|=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，
则四边形ABCD的面积为$2\sqrt{5}×3\sqrt{5}=30$．

点评 本题主要考查平面向量的应用，根据坐标关系判断四边形是矩形是解决本题的关键．