Question

5．已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是（　　）

• A． $\frac{4}{3}π$
• B． $\frac{8}{3}π$
• C． $\frac{{8\sqrt{2}}}{3}π$
• D． $\frac{{16\sqrt{2}}}{3}π$

Answer 1

分析 由该棱锥的三视图判断出该棱锥的几何特征，以及相关几何量的数据，再求出该棱锥外接球的半径和体积．

解答 解：由该棱锥的三视图可知，该棱锥是以边长为$\sqrt{2}$的正方形为底面，
高为2的四棱锥，做出其直观图所示：
则PA=2，AC=2，PC=$2\sqrt{2}$，PA⊥面ABCD，
所以PC即为该棱锥的外接球的直径，则R=$\sqrt{2}$，
即该棱锥外接球的体积V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}π$，
故选：C．

点评 本题考查了由三视图求几何体的外接球的体积，解题的关键是根据三视图判断几何体的结构特征及相关几何量的数据．