Question

10．已知sinα+cosα=$\frac{1+2\sqrt{6}}{5}$，则tanα=2$\sqrt{6}$或$\frac{\sqrt{6}}{12}$．

Answer 1

分析 把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，求出2sinαcosα的值，再利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，求出sinα-cosα的值，与已知等式联立求出sinα与cosα的值，即可求出tanα的值．

解答 解：由sinα+cosα=$\frac{1+2\sqrt{6}}{5}$，两边平方得：（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=$\frac{25+4\sqrt{6}}{25}$=1+$\frac{4\sqrt{6}}{25}$，
∴2sinαcosα=$\frac{4\sqrt{6}}{25}$，
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=1-$\frac{4\sqrt{6}}{25}$=$\frac{25-4\sqrt{6}}{25}$，即sinα-cosα=$\frac{1-2\sqrt{6}}{5}$或$\frac{2\sqrt{6}-1}{5}$，
解得：sinα=$\frac{1}{5}$，cosα=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$；sinα=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，cosα=$\frac{1}{5}$，
则tanα=2$\sqrt{6}$或$\frac{\sqrt{6}}{12}$．
故答案为：2$\sqrt{6}$或$\frac{\sqrt{6}}{12}$

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．