Question

16．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是（　　）

• A． （1，$\sqrt{2}$）
• B． （1，$\sqrt{2}$+1）
• C． （$\sqrt{2}$+1，$\sqrt{10}$）
• D． （$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$）

Answer 1

分析 先确定双曲线的渐近线斜率2＜$\frac{b}{a}$＜3，再根据$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$，即可求得双曲线离心率的取值范围．

解答 解：由题意可得双曲线的渐近线斜率的范围为：2＜$\frac{b}{a}$＜3，
∵$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$，
∴$\sqrt{5}$＜e＜$\sqrt{10}$，
∴双曲线离心率的取值范围为（$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$）．
故选D．

点评 本题考查双曲线的性质：渐近线方程的运用，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是运用离心率公式和渐近线斜率间的关系，属于中档题．