Question

11．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，平面AEC⊥平面ABCD，∠ACB=90°，EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，AC=BC=2，AE=EC．
（Ⅰ）求证：AF=CF；
（Ⅱ）当二面角A-EC-D的平面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$时，求三棱锥A-EFC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由∠ACB=90°，平面AEC平面ABCD，利用面面垂直的性质定理可得：BC⊥平面AEC，又EF∥BC，可得EF⊥平面AEC，又AE=EC，利用勾股定理可得AF=$\sqrt{E{F}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{E{F}^{2}+C{F}^{2}}$=CF．
（II）取AC的中点O，可得EO⊥AC，EO⊥平面ABCD，如图建立空间直角坐标系，设E（0，0，m），设平面ECD的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（x，y，1）$，利用$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{EC}=0}\\{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{ED}=0}\end{array}}\right.$，可得$\overrightarrow{n_1}=（m，m，1）$，同理可得平面AEC的法向量为$\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{FE}=（0，1，0）$，利用法向量的夹角公式可得：m，再利用三棱锥的体积计算公式即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：∵∠ACB=90°，平面AEC平面ABCD，
∴BC⊥平面AEC，
又EF∥BC，
∴EF⊥平面AEC，
∴EF⊥AE，EF⊥CE，又AE=EC，
∴AF=$\sqrt{E{F}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{E{F}^{2}+C{F}^{2}}$=CF．
∴AF=CF．
（Ⅱ）取AC的中点O，
∵AE=EC，
∴EO⊥AC，又平面AEC⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD，
如图建立空间直角坐标系，则C（1，0，0），A（-1，0，0），D（-1，2，0），
设E（0，0，m），
∴$\overrightarrow{EC}=（1，0，-m），\overrightarrow{ED}=（-1，2，-m）$，
设平面ECD的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（x，y，1）$，
则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{EC}=0}\\{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{ED}=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{x-m=0}\\{-x+2y-m=0}\end{array}}\right.$，
得x=m，y=m，
∴$\overrightarrow{n_1}=（m，m，1）$，
由（Ⅰ）知EF⊥平面AEC，
∴平面AEC的法向量为$\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{FE}=（0，1，0）$，
∴$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{m}{{\sqrt{2{m^2}+1}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴m=1，
∴${V_{A-EFC}}={V_{F-AEC}}=\frac{1}{3}EF•{S_{△ACE}}$=$\frac{1}{3}×1×\frac{1}{2}×1×2=\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了线面面面平行与垂直的判定性质定理、利用法向量的夹角公式求二面角的平面角、三棱锥的体积计算公式、勾股定理、等腰三角形的性质，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．