Question

19．已知P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）在圆O：x²+y²=4上，∠P₁OP₂=θ（θ为钝角），sin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，则x₁x₂+y₁y₂=（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{2}+8}}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{2}-4}}{3}$
• C． $\frac{{2\sqrt{2}+4}}{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{2}-8}}{3}$

Answer 1

分析 由题意可得θ+$\frac{π}{4}$为钝角，求出cos（θ+$\frac{π}{4}$）的值，可得cosθ=cos[（$\frac{π}{4}$+θ）-$\frac{π}{4}$]的值，再根据x₁x₂+y₁y₂=$\overrightarrow{{OP}_{1}}$•$\overrightarrow{{OP}_{2}}$=|$\overrightarrow{{OP}_{1}}$|•|$\overrightarrow{{OP}_{2}}$|cosθ，计算求得结果．

解答 解：由，∠P₁OP₂=θ（θ为钝角），sin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，可得θ+$\frac{π}{4}$为钝角，故cos（θ+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（\frac{π}{4}+θ）}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cosθ=cos[（$\frac{π}{4}$+θ）-$\frac{π}{4}$]=cos（θ+$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$+sin（θ+$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}-4}{6}$．
再根据x₁x₂+y₁y₂=$\overrightarrow{{OP}_{1}}$•$\overrightarrow{{OP}_{2}}$=|$\overrightarrow{{OP}_{1}}$|•|$\overrightarrow{{OP}_{2}}$|cosθ=2×2×$\frac{\sqrt{2}-4}{6}$=$\frac{2\sqrt{2}-8}{3}$，
故选：D．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式，两个向量的数量积的定义、两个向量的数量积公式，判断θ+$\frac{π}{4}$为钝角，是解题的关键，属于中档题．