Question

1．在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为正方体内一点（包括表面），若$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$+z$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，且0≤x≤y≤z≤1，则P点所有可能的位置所构成的几何体的体积为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 通过向量加法的几何意义和空间向量基本定理，确定满足0≤x≤y≤1、0≤y≤z≤1的点P的位置，即三棱柱A-A₁C₁D₁内，从而可得结论．

解答 解：根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，
满足条件的0≤x≤y≤1的点P在三棱柱ACD-A₁C₁D₁内，
满足条件的0≤y≤z≤1的点P在三棱柱AA₁D₁-BB₁C₁内，
故同时满足0≤x≤y≤1和0≤y≤z≤1的点P在这两个三棱柱的公共部分，
即图中的三棱柱A-A₁C₁D₁内，其体积是$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{6}$，
故选：D．

点评 本题考查三棱柱，向量基本定理，向量的加法运算，确定点P的位置是解决本题的关键，属于中档题．