Question

12．以双曲线F为圆心且过左顶点A的圆交双曲线的一条渐近线于P、Q两点，PQ不小于虚轴长，则离心率的取值范围为（1，3]．

Answer 1

分析 设出F，A的坐标，求得渐近线方程，求得圆心到渐近线的距离，运用弦长公式求得弦长PQ，由题意可得|PQ|不小于2b，结合a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求范围．

解答 解：设F（c，0），A（-a，0），
圆F：（x-c）²+y²=（a+c）²，
双曲线的一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
圆心F到渐近线的距离为d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{bc}{c}$=b，
则|PQ|=2$\sqrt{（a+c）^{2}-{b}^{2}}$≥2b，
即有（a+c）²≥2b²=2（c²-a²），
即为c²-2ac-3a²≤0，
由离心率e=$\frac{c}{a}$，可得
e²-2e-3≤0，解得-1＜e＜3．
又e＞1，则1＜e≤3．
故答案为：（1，3]．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程和离心率的范围，同时考查直线和圆相交的弦长公式，属于中档题．