Question

17．已知抛物线C：y²=4x与直线y=2x+k相交于A、B两点，且|AB|=$\sqrt{15}$．
（1）求k的值；
（2）在抛物线C上是否存在动点P使得△ABP的重心恰为抛物线C的焦点F，若存在，求出动点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由y²=4x与直线y=2x+k消去x，得y²-2y+2k=0，运用韦达定理和弦长公式，即可得到k的值；
（2）由（1）知，y₁+y₂=2，x₁+x₂=1，设P（x，y），则△ABP的重心恰为抛物线C的焦点F，求出P的坐标，即可得出结论．

解答 解：（1）由y²=4x与直线y=2x+k去x，得y²-2y+2k=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=2，y₁y₂=2k，
则|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$|y₁-y₂|=$\frac{\sqrt{5}}{2}•\sqrt{4-8k}$=$\sqrt{15}$，
则k=-1．
（2）由（1）知，y₁+y₂=2，x₁+x₂=1
设P（x，y），则△ABP的重心恰为抛物线C的焦点F，
可得x₁+x₂+x=3，y₁+y₂+y=0，
所以x=2，y=-2，不在抛物线上．

点评 本题考查联立直线和抛物线方程，消去一个未知数，运用韦达定理和弦长公式，同时考查点到直线的距离公式，考查运算求解能力，属于中档题．