Question

8．已知f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$mx²-x，m∈R，当m=-2时，求函数f（x）的所有零点．

Answer 1

分析 当m=-2时，f（x）=xlnx+x²-x，再求导f′（x）=lnx+2x；从而可判断存在x₀∈（0，1），使f′（x₀）=0；且f（x）在（0，x₀）上是减函数，在（x₀，+∞）上是增函数；而f（1）=0，再判断在（0，1）上无零点即可．

解答 解：当m=-2时，f（x）=xlnx+x²-x，
f′（x）=lnx+1+2x-1=lnx+2x；
故f′（x）在（0，+∞）上是增函数，
且存在x₀∈（0，1），使f′（x₀）=0；
故f（x）在（0，x₀）上是减函数，在（x₀，+∞）上是增函数；
而f（1）=0+1-1=0；
当0＜x＜1时，
xlnx+x²-x=0可化为xlnx=x-x²，
左边=xlnx＜0，右边=x-x²＞0，
故方程xlnx+x²-x=0在（0，1）上无解，
综上所述，函数f（x）的零点是1．

点评 本题考查了导数的应用及函数的零点与方程的根的关系应用，属于基础题．