已知直线l的方程为x=-2.且直线l与x轴交于点M.圆O:x2+y2=1与x轴交于A.B两点．(Ⅰ)过M点的直线l1交圆于P.Q两点.且圆弧PQ恰为圆周的$\frac{1}{4}$.求直线l1的方程,(Ⅱ)求中心在原点.焦点在x轴.离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$.且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程,(Ⅲ)过M点的圆的切线l2交(Ⅱ)中的一个椭圆于C.D� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

3．

已知直线l的方程为x=-2，且直线l与x轴交于点M，圆O：x²+y²=1与x轴交于A，B两点（如图）．
（Ⅰ）过M点的直线l₁交圆于P、Q两点，且圆弧PQ恰为圆周的$\frac{1}{4}$，求直线l₁的方程；
（Ⅱ）求中心在原点，焦点在x轴，离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程；
（Ⅲ）过M点的圆的切线l₂交（Ⅱ）中的一个椭圆于C、D两点，其中C、D两点在x轴上方，求线段CD的长．

分析（Ⅰ）可设直线l₁的方程为y=k（x+2），由点到直线的距离公式可得k的方程，解方程可得；
（Ⅱ）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），易得a=1或b=1，分别可得b和a值，可得方程；
（Ⅲ）可设直线l₂的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2）和椭圆联立可得5x²+8x+2=0，由弦长公式可得．

解答解：（Ⅰ）∵圆孤PQ恰为圆周的$\frac{1}{4}$，∴∠POQ=$\frac{π}{2}$，
∴点O到直线l₁的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
设直线l₁的方程为y=k（x+2），
∴$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得k=±$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴直线l₁的方程为y=±$\frac{\sqrt{7}}{7}$（x+2）；
（Ⅱ）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
∵椭圆与圆O恰有两个公共点，∴a=1或b=1，
当a=1时，c=$\frac{1}{2}$，b²=a²-c²=$\frac{3}{4}$，所求椭圆方程为x²+$\frac{4{y}^{2}}{3}$=1；
同理当b=1时，可得a²=2，所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅲ）设切点为N，由题意可得椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
在RT△MON中，MO=2，ON=1，则∠NMO=30°，
∴直线l₂的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2），
代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1整理可得5x²+8x+2=0，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由韦达定理可得x₁+x₂=-$\frac{8}{5}$，x₁x₂=$\frac{2}{5}$，
由弦长公式可得线段CD的长|CD|=$\sqrt{（1+\frac{1}{3}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$

点评本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，涉及弦长公式和距离公式，属中档题．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：填空题

17．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，焦距为2c．直线y=$\sqrt{3}$（x+c）与椭圆的一个交点为M，O为坐标原点，若|OM|=c，则椭圆的离心率是$\sqrt{3}-1$．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：选择题

18．若sinα=1-$\sqrt{3}$tan10°sinα，则锐角α的值为（　　）

A．

40°

B．

50°

C．

60°

D．

70°

查看答案和解析>>