Question

17．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，焦距为2c．直线y=$\sqrt{3}$（x+c）与椭圆的一个交点为M，O为坐标原点，若|OM|=c，则椭圆的离心率是$\sqrt{3}-1$．

Answer 1

分析 由题意求出直线与坐标轴的交点，求出M的坐标，然后椭圆方程即可求解椭圆的离心率．

解答 解：直线y=$\sqrt{3}$（x+c）与坐标轴的交点分别为A（-c，0），B（0，$\sqrt{3}$c）．|AB|=2c．
直线y=$\sqrt{3}$（x+c）与椭圆的一个交点为M，O为坐标原点，若|OM|=c，
可得M是AB的中点，M（$-\frac{c}{2}，\frac{\sqrt{3}c}{2}$）．
则：$\frac{{c}^{2}}{{4a}^{2}}+\frac{{3c}^{2}}{{4b}^{2}}=1$，即$\frac{{e}^{2}}{4}+\frac{{3c}^{2}}{{4a}^{2}-4{c}^{2}}=1$，
化简得：$\frac{{e}^{2}}{4}+\frac{{3e}^{2}}{4-4{e}^{2}}=1$，
解得e=$\sqrt{3}-1$．
故答案为：$\sqrt{3}-1$．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．