Question

12．已知函数f（x）=sin²x+$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$
（1）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求函数f（x）的取值范围；
（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边，其中A为锐角，a=2$\sqrt{3}$，c=4且f（A）=1，求A，b和△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）化简得出f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），根据x∈[0，$\frac{π}{2}$]，则2x-$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，得出sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，求解即可．
（2）求解得出A=$\frac{π}{3}$，根据余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA，求解b=2，利用面积公式求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）=sin²x+$\sqrt{3}$sin xcosx-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x$-\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x$-\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
又x∈[0，$\frac{π}{2}$]，则2x-$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴f（x）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
（2）f（A）=sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，
∵A∈（0，$\frac{π}{2}$），2A-$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴2A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{π}{2}$，A=$\frac{π}{3}$，
∵根据余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA，
得出：b=2，
所以S=$\frac{1}{2}bc$sinA=$\frac{1}{2}×2×4$sin60°=2$\sqrt{3}$，

点评 本题考查了三角函数在解三角形中的应用，根据三角公式化简求解，难度不大，属于中档题．