Question

2．已知关于x的不等式ax²-x-a+1＞0，若a∈R，求不等式的解集．

Answer 1

分析 讨论a与0的大小，将不等式进行因式分解，然后讨论两根的大小，从而求出不等式的解集

解答 解：当a=0时，x＜1．                                               
当a≠0时，原不等式变形为（x-1）（ax+a-1）＞0，
当a＜0时，（ x+$\frac{a-1}{a}$ ） （ x-1 ）＜0，解得 $\frac{1-a}{a}$＜x＜1；               
当$\frac{1-a}{a}＞1$即0＜a＜$\frac{1}{2}$时，（ x+$\frac{a-1}{a}$ ） （ x-1 ）＞0，解得x＜1或者x＞$\frac{1-a}{a}$．
当$\frac{1-a}{a}$＜1即a＞$\frac{1}{2}$时，原不等式，（ x+$\frac{a-1}{a}$ ） （ x-1 ）＞0，解得x＞1或者x＜$\frac{1-a}{a}$．
当$\frac{1-a}{a}=1$即a=$\frac{1}{2}$时，不等式为（x-1）²＞0，解得x≠1；
综上不等式的解集为：当a＜0时，{x|$\frac{1-a}{a}$＜x＜1 }；
当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，{x|x＜1或者x＞$\frac{1-a}{a}$}；
当a＞$\frac{1}{2}$时，{x|x＞1或者x＜$\frac{1-a}{a}$}；
当a=$\frac{1}{2}$时，{x|x≠1}．

点评 本题主要考查了不等式的求解，同时考查了分类讨论的数学思想，解题的关键是讨论的标准，属于中档题