Question

17．已知a，b，c均为正数，且ab+bc+ca=1，求证：$\frac{{a}^{3}}{b+c}$+$\frac{{b}^{3}}{c+a}$+$\frac{{c}^{3}}{a+b}$≥$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 运用基本不等式可得$\frac{{a}^{3}}{b+c}$+$\frac{a（b+c）}{4}$≥a²，同理$\frac{{b}^{3}}{c+a}$+$\frac{b（c+a）}{4}$≥b²，$\frac{{c}^{3}}{a+b}$+$\frac{c（a+b）}{4}$≥c²．再累加结合a²+b²+c²≥ab+bc+ca，即可得证．

解答 证明：由a，b，c均为正数，且ab+bc+ca=1，
则$\frac{{a}^{3}}{b+c}$+$\frac{a（b+c）}{4}$≥2$\sqrt{\frac{{a}^{3}}{b+c}•\frac{a（b+c）}{4}}$=a²，
同理$\frac{{b}^{3}}{c+a}$+$\frac{b（c+a）}{4}$≥b²，
$\frac{{c}^{3}}{a+b}$+$\frac{c（a+b）}{4}$≥c²．
三式相加可得，（$\frac{{a}^{3}}{b+c}$+$\frac{{b}^{3}}{c+a}$+$\frac{{c}^{3}}{a+b}$）+（$\frac{a（b+c）}{4}$+$\frac{b（c+a）}{4}$+$\frac{c（a+b）}{4}$）
≥a²+b²+c²，
即有$\frac{{a}^{3}}{b+c}$+$\frac{{b}^{3}}{c+a}$+$\frac{{c}^{3}}{a+b}$≥a²+b²+c²-$\frac{1}{2}$（ab+bc+ca），
由a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ac，
可得a²+b²+c²≥ab+bc+ca，
则有$\frac{{a}^{3}}{b+c}$+$\frac{{b}^{3}}{c+a}$+$\frac{{c}^{3}}{a+b}$≥$\frac{1}{2}$（ab+bc+ca），
故有$\frac{{a}^{3}}{b+c}$+$\frac{{b}^{3}}{c+a}$+$\frac{{c}^{3}}{a+b}$≥$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查不等式的证明，主要考查基本不等式的运用，运用累加法和不等式的性质是解题的关键．