Question

5．已知角α的终边在直线3x+4y=0上，求sinα+cosα+$\frac{4}{5}$tanα的值．

Answer 1

分析 由条件根据任意角的三角函数的定义，分类讨论求得sinα、cosα、tanα的值，即可求得sinα+cosα+$\frac{4}{5}$tanα的值．

解答 解：由于角α的终边在直线3x+4y=0上，故角α的终边在第二或第四象限，
当角α的终边在第二象限，在角α的终边上任意取一点（-4，3），
则有x=-4，y=3，r=|OP|=5，∴sinα=$\frac{y}{r}$=$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{x}{r}$=-$\frac{4}{5}$，tanα=$\frac{y}{x}$=-$\frac{3}{4}$，
∴sinα+cosα+$\frac{4}{5}$tanα=$\frac{3}{5}$-$\frac{4}{5}$+（-$\frac{3}{4}$）=-$\frac{4}{5}$．
当角α的终边在第四象限，在角α的终边上任意取一点（4，-3），
则有x=4，y=-3，r=|OP|=5，∴sinα=$\frac{y}{r}$=-$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{x}{r}$=$\frac{4}{5}$，tanα=$\frac{y}{x}$=-$\frac{3}{4}$，
∴sinα+cosα+$\frac{4}{5}$tanα=-$\frac{3}{5}$+$\frac{4}{5}$+$\frac{4}{5}$•（-$\frac{3}{4}$）=-$\frac{2}{5}$．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．