Question

8．如图所示，设抛物线y²=2px与圆（x-5）²+y²=16在x轴上方的交点为A和B，线段AB的中点C（4，y_C）
（1）求抛物线方程；
（2）直线AB与x轴相交于D，求D到圆的最短距离．

Answer 1

分析 （1）联立直线与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系及C的坐标求得p值，则抛物线方程可求；
（2）由（1）求出A，B的坐标，得到C的坐标，求出过圆心与C的直线的斜率，得到AB所在直线的斜率，由点斜式得到AB的方程，求出D的坐标，再由圆心与D的距离减去圆的半径得答案．

解答 解：（1）如图，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{（x-5）^{2}+{y}^{2}=16}\end{array}\right.$，得x²+（2p-10）x+9=0．
设A（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x₁+x₂=10-2p，
∵线段AB的中点C（4，y_C），由中点坐标公式得：
x₁+x₂=10-2p=8，得p=1．
∴抛物线方程为y²=2x；
（2）把p=1代入方程x²+（2p-10）x+9=0，得x²-8x+9=0．
解得：${x}_{1}=4-\sqrt{7}，{x}_{2}=4+\sqrt{7}$，
则${y}_{1}=\sqrt{2{x}_{1}}=\sqrt{8-2\sqrt{7}}$=$\sqrt{7}-1$，${y}_{2}=\sqrt{2{x}_{2}}=\sqrt{8+2\sqrt{7}}=\sqrt{7}+1$，
∴${y}_{C}=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=\sqrt{7}$，
则圆心M与C的连线的斜率为$\frac{\sqrt{7}}{4-5}=-\sqrt{7}$，
∴直线AB的方程为：$y-\sqrt{7}=\frac{\sqrt{7}}{7}（x-4）$，取y=0，得x=-3，
∴D（-3，0），
则求D到圆的最短距离为8-4=4．

点评 该题考查抛物线的方程与性质性质，考查直线与抛物线、圆与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力及运算求解能力，是中档题．