Question

19．若△ABC外接圆的圆心为O，半径为4，$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AC}$=0，则$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{CB}$方向上的投影为（　　）

• A． 4
• B． $\sqrt{15}$
• C． $\sqrt{7}$
• D． 1

Answer 1

分析 首先运用向量的三角形法则，再取取BC的中点D，连接OD并延长到点E，使得$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{OD}$，再由向量共线的性质和勾股定理，即可求得向量的投影．

解答 解：如图所示，
∵$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{OA}$+2（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）+2（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{AO}$=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$），
取BC的中点D，连接OD并延长到点E，使得$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{OD}$，
则OD⊥BC，$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OE}$．
∴$\overrightarrow{AO}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OE}$=$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{OD}$，
∴|$\overrightarrow{OD}$|=$\frac{3}{4}$|$\overrightarrow{AO}$|=3，
∴CD=$\sqrt{O{C}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
∴向量$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{CB}$方向上的投影为$\sqrt{7}$．
故选C．

点评 本题考查了菱形的性质、向量的平行四边形法则、三角形外心的性质、向量的投影、勾股定理、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．