Question

10．如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．
（1）若围墙AP，AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？
（2）已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？

Answer 1

分析 （1）设AP=x米，AQ=y米，则x+y=200，△APQ的面积S=$\frac{1}{2}$xysin120°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$xy，利用基本不等式，可得结论；
（2）由题意得100×（x+1.5y）=20000，即x+1.5y=200，要使竹篱笆用料最省，只需PQ最短，利用余弦定理求出PQ，即可得出结论．

解答 解：设AP=x米，AQ=y米，则
（1）x+y=200，△APQ的面积S=$\frac{1}{2}$xysin120°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$xy$≤\frac{\sqrt{3}}{4}•（\frac{x+y}{2}）^{2}$=2500$\sqrt{3}$，
当且仅当x=y=100时取等号；
（2）由题意得100×（x+1.5y）=20000，即x+1.5y=200，
要使竹篱笆用料最省，只需PQ最短，所以
PQ²=x²+y²-2xycos120°=x²+y²+xy=（200-1.5y）²+y²+（200-1.5y）y
=1.75y²-400y+40000（0＜y＜$\frac{400}{3}$）
所以y=$\frac{800}{7}$时，PQ有最小值$\frac{200\sqrt{21}}{7}$，此时x=$\frac{200}{7}$．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角形面积的计算，余弦定理的运用，属于中档题．