Question

2．若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是两个非零向量，且|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{a}$|，则$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角是$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 根据$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$，对$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}|\overrightarrow{a}|$两边平方即可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，然后根据向量夹角的余弦公式求出cos$＜\overrightarrow{b}，\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}＞$，这样即可得到所求夹角．

解答 解：根据已知条件得：
$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}=2{\overrightarrow{a}}^{2}$；
∴$2{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=2{\overrightarrow{a}}^{2}$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$；
∴$cos＜\overrightarrow{b}，\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}＞=\frac{\overrightarrow{b}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{b}|\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}}}$=$\frac{{-\overrightarrow{b}}^{2}}{\sqrt{2}{\overrightarrow{b}}^{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$\overrightarrow{b}与\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{3π}{4}$．
故答案为：$\frac{3π}{4}$．

点评 考查数量积的运算，两向量夹角的余弦公式，以及向量夹角的范围．