Question

16．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA=AB=AC=2，BC=2$\sqrt{2}$． 
（1）求证：CD⊥平面PAC；
（2）如果N是棱AB上一点，若V_N-PBC：V_N-AMC=3：2，求$\frac{AN}{NB}$的值．

Answer 1

分析 （1）连接AC．在△ABC中，BC²=AB²+AC²，AB⊥AC．由AB∥CD，可得AC⊥CD． 利用线面垂直的性质可得PA⊥CD．即可证明．
（2）由于点M是线段PD的中点，可得点P，M到底面ABCD的距离之比为2：1，而S_△BNC：S_△ANC=$\frac{BN}{NA}$，即可得出体积之比．

解答 （1）证明：连接AC．
∵在△ABC中，
AB=AC=2，BC=2$\sqrt{2}$，
∴BC²=AB²+AC²，
∴AB⊥AC．
∵AB∥CD，
∴AC⊥CD．                    
又∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥CD．
∵AC∩PA=A，
∴CD⊥平面PAC．
（2）解：∵点M是线段PD的中点，
∴点P，M到底面ABCD的距离之比为2：1，
S_△BNC：S_△ANC=$\frac{BN}{NA}$，
∴$\frac{{V}_{N-PBC}}{{V}_{N-AMC}}$=$\frac{{V}_{P-BNC}}{{V}_{M-ANC}}$=$\frac{2}{1}$×$\frac{{S}_{△BNC}}{{S}_{△ANC}}$=$\frac{2BN}{NA}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AN}{NB}$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质定理、勾股定理的逆定理、三角形面积之比、三棱锥的体积之比、平行四边形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．