Question

7．已知圆O：x²+y²=4和圆O外一点P（x₀，y₀），过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，且∠AOB=120°．若点C（6，0）和点P满足PO=λPC，则λ的范围是[$\frac{2}{5}$，2]．

Answer 1

分析 由对称性可知，动点P轨迹一定是圆心在原点的圆，求出|OP|即可得到点P的轨迹方程，再由两点的距离公式，化简整理可得λ=$\frac{|PO|}{|PC|}$=$\frac{2}{\sqrt{13-3m}}$，由-4≤m≤4，即可得到所求范围．

解答 解：由题意可得，A，O，B，P四点共圆，且圆的直径为OP，
∵∠AOB=120°，PA，PB为圆的切线，
∴∠AOP=60°，
∵|OA|=2，∠OAP=90°，
∴|OP|=4．
∴点P的轨迹方程为x²+y²=16，
设P的坐标为（m，n），则m²+n²=16，且-4≤m≤4，
则|PO|=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$=4，|PC|=$\sqrt{（m-6）^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{52-12m}$
由题意可得λ=$\frac{|PO|}{|PC|}$=$\frac{2}{\sqrt{13-3m}}$，
由-4≤m≤4，可得λ∈[$\frac{2}{5}$，2]．
故答案为：[$\frac{2}{5}$，2]．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，主要考查直线和圆相切的条件，以及圆的性质和两点的距离公式的运用，属于中档题．