Question

19．已知函数f（x）=$\frac{1-si{n}^{2}（\frac{π}{3}-2x）}{cos（2x-\frac{π}{3}）}$•$\frac{3}{tan（2x+\frac{7π}{6}）}$．
（1）求函数f（x）的最小正周期及值域；
（2）求当x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]时，函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）由同角三角函数关系式和诱导公式化简函数解析式可得f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$）．由周期公式可得函数f（x）的最小正周期，由余弦函数的有界性可得值域．
（2）由x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]时，可求2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，由余弦函数的图象和性质即可求得单调增区间．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1-si{n}^{2}（\frac{π}{3}-2x）}{cos（2x-\frac{π}{3}）}$•$\frac{3}{tan（2x+\frac{7π}{6}）}$=$\frac{co{s}^{2}（2x-\frac{π}{3}）}{cos（2x-\frac{π}{3}）}•\frac{2}{tan（2x+\frac{π}{6}）}$=cos（2x-$\frac{π}{3}$）•$\frac{2cos（2x+\frac{π}{6}）}{sin（2x+\frac{π}{6}）}$=2cos（2x+$\frac{π}{6}$）．
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．值域为：[-2，2]．
（2）∵x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴由余弦函数的图象可知：函数f（x）的单调增区间为：[-$\frac{5π}{6}$，0]．

点评 本题主要考查了同角三角函数关系式，诱导公式，周期公式，余弦函数的有界性、单调性等知识的综合应用，属于基本知识的考查．