Question

10．已知函数f（x）=ax²-4x+2，函数g（x）=（${\frac{1}{3}}$）^f（x）．
（Ⅰ）若函数f（x）在（-∞，2]和[2，+∞）上单调性相反，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若a＜0，不等式g（x）≤9在x∈（0，$\frac{1}{2}}$]上恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）已知a≤1，若函数y=f（x）-log₂$\frac{x}{8}$在区间[1，2]内有且只有一个零点，试确定实数a的范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若函数f（x）在（-∞，2]和[2，+∞）上单调性相反，得到x=2是对称轴，进行求解即可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用参数分离法将不等式g（x）≤9在x∈（0，$\frac{1}{2}}$]上恒成立转化为求最值问题即可，求a的取值范围；
（Ⅲ）根据函数零点和方程之间的关系，判断函数的单调性，即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）由单调性知，函数f（x）=ax²-4x+2为二次函数，
其对称轴为$x=-\frac{-4}{2a}=2$，解得a=1，…（2分）
∴所求f（x）=x²-4x+2．…（3分）
（Ⅱ）依题意得${（{\frac{1}{3}}）^{f（x）}}≤9={（{\frac{1}{3}}）^{-2}}$，
即${（{\frac{1}{3}}）^{a{x^2}-4x+2}}≤{（{\frac{1}{3}}）^{-2}}$在$x∈（{0，\frac{1}{2}}]$上恒成立，
转化为ax²-4x+2≥-2在$x∈（{0，\frac{1}{2}}]$上恒成立，
?ax²-4x+4≥0在$x∈（{0，\frac{1}{2}}]$上恒成立，…（4分）
法一：转化为a（ax²-4x+4）_min≥0…（5分）
令h（x）=ax²-4x+4，
由于a＜0，∴h（x）的对称轴为$x=\frac{2}{a}＜0$，
结合图象，只须$h（\frac{1}{2}）≥0$，解得-8≤a＜0．…（8分）
法二：转化为$a≥\frac{4x-4}{x^2}=\frac{4}{x}-\frac{4}{x^2}$在$x∈（{0，\frac{1}{2}}]$上恒成立，
令$\frac{1}{x}=t\;\;（t＞2）$，则转化为a≥4t-4t²在t∈[2，+∞）上恒成立…（4分）
即a≥（4t-4t²）_max，…（5分）a≥-8所以-8≤a＜0． …（8分）
（Ⅲ）∵$y=f（x）-{log_2}\frac{x}{8}=a{x^2}-4x+5-{log_2}x$，
设r（x）=ax²-4x+5，s（x）=log₂x，x∈[1，2]，
则原命题等价于两个函数r（x）与s（x）的图象在区间[1，2]内有唯一交点．
当a=0时，r（x）=-4x+5在[1，2]内为减函数，s（x）=log₂x，x∈[1，2]为增函数，
且r（1）=1＞s（1）=0，r（2）=-3＜s（2）=1，∴函数在区间有唯一的交点；…（9分）
当a＜0时，r（x）图象开口向下，对称轴为$x=\frac{2}{a}＜0$，
∴r（x）在[1，2]内为减函数，s（x）=log₂x，x∈[1，2]为增函数，
且$\left\{\begin{array}{l}r（1）≥s（1）\\ r（2）≤s（2）\end{array}\right.$$⇒\left\{\begin{array}{l}a+1≥0\\ 4a-3≤1\end{array}\right.$⇒-1≤a≤1，
∴-1≤a＜0…（11分）
当0＜a≤1时，r（x）图象开口向上，对称轴为$x=\frac{2}{a}≥2$，
∴r（x）在[1，2]内为减函数，s（x）=log₂x，x∈[1，2]为增函数，
则由$\left\{\begin{array}{l}r（1）≥s（1）\\ r（2）≤s（2）\end{array}\right.$$⇒\left\{\begin{array}{l}a+1≥0\\ 4a-3≤1\end{array}\right.$⇒-1≤a≤1，
∴0＜a≤1…（13分）
综上，所求a的取值范围为[-1，1]…（14分）

点评 本题主要考查一元二次函数的性质，以及不等式恒成立问题，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．