Question

5．已知直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈α，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，求D到平面ABC的距离．

Answer 1

分析 由题意通过等体积法，求出三棱锥的体积，然后求出D到平面ABC的距离

解答 解：由题意画出图形如图：
∵直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，
∴AC⊥β，BC?β，
∴AC⊥BC，
∵AB=2，AC=BD=1，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，CD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$
设D到平面ABC的距离转化为三棱锥D-ABC的高为h，
由V_B-ACD=V_D-ABC可知$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$•AC•CD•BD=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×AC•BC•h，
所以，h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题是基础题，考查点到平面的距离，考查转化思想的应用，等体积法是求解点到平面距离的基本方法之一，考查计算能力．