Question

15．试求与圆C₁：（x-1）²+y²=1相外切，且与直线x+$\sqrt{3}$y=0相切于点Q（3，-$\sqrt{3}$）的圆的方程．

Answer 1

分析 设圆心为（x，$\sqrt{3}$x-4$\sqrt{3}$），半径为R，利用两圆外切及直线与圆相切建立方程组，求出参数，得到所求的圆的方程．

解答 解：依题意，且由切线性质得：圆心所在的直线与直线x+$\sqrt{3}$y=0垂直．
设圆心所在的直线方程是y+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$（x-3），即y=$\sqrt{3}$x-4$\sqrt{3}$
设圆心为（x，$\sqrt{3}$x-4$\sqrt{3}$），半径为R，则
①（x-3）²+（$\sqrt{3}$x-4$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$）²=R²，
②（x-1）²+（$\sqrt{3}$x-4$\sqrt{3}$）²=（R+1）²，
①-②得到x=6-R，
再把x=6-R代入①得到R²-8R+12=0，
解得R₁=6，R₂=2，
所以解得x₁=0，x₂=4，
所以当R=6时圆心坐标为（0，-4$\sqrt{3}$），当R=2时，圆心坐标为（4，0），
所以圆的方程为x²+（y+4$\sqrt{3}$）²=36或（x-4）²+y²=4．

点评 一般情况下，如果已知圆心（或易于求出）或圆心到某一直线的距离（或易于求出），可用圆的标准方程来求解，用待定系数法求出圆心坐标和半径．