Question

13．如图，三棱锥ABC-A₁B₁C₁的底面ABC是正三角形，A₁D⊥平面ABC，D是AC的中点．
（1）求证：A₁C₁⊥A₁B；
（2）求证：B₁C∥平面A₁BD．

Answer 1

分析 （1）连接BD，证明AC⊥平面A₁BD，即可证明A₁C₁⊥A₁B；
（2）连结AB₁交A₁B于点E，连结DE．证出DE为△AB₁C的中位线，得DE∥B₁C，利用线面平行的判定定理，即可证出B₁C∥平面A₁BD．

解答 证明：（1）连接BD，则
∵A₁D⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴A₁D⊥AC，
∵底面ABC是正三角形，D是AC的中点，
∴AC⊥BD，
∵A₁D∩BD=D，
∴AC⊥平面A₁BD，
∴AC⊥A₁B，
∵A₁C₁∥AC，
∴A₁C₁⊥A₁B；
（2）连结AB₁，交A₁B于点E，连结DE
∵四边形AA₁B₁B为平行四边形，
∴E为AB₁的中点，
∵D是AC的中点，可得DE为△AB₁C的中位线，
∴DE∥B₁C，
∵DE?平面A₁BD，B₁C?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD．

点评 本题考查证明线面平行和线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面平行的判定是关键，属于中档题．