Question

13．f（x）是定义于非负实数集上且取非负实数值的函数，求所有满足下列条件的f（x）．
（1）f（xf（y））f（y）=f（x+y）；
（2）f（2）=0；
（3）当0≤x＜2时，f（x）≠0．

Answer 1

分析 根据抽象函数的定义，利用赋值法，结合条件进行推理即可．

解答 解：令x=0，由（1）有f（0）f（y）=f（y），故f（0）=1
令y=2，由（1）有f（xf（2））f（2）=f（x+2），
再由（2）知f（2）=0，故f（x+2）=0对任意的x≥0成立；
故当x≥2时f（x）=0恒成立，
令x+y=2  （x，y∈R+），
则由（1）知f（xf（2-x））f（2-x）=f（2）=0
因为（3）知当0≤x＜2时f（x）≠0，即f（2-x）≠0，
所以f（xf（2-x））=0，
于是有xf（2-x）=2，
求得f（x）=$\frac{2}{2-x}$
综合上述，
所有满足条件的f（x）为以下分段函数：当x=0时，f（x）=1，
当0＜x＜2时，f（x）=$\frac{2}{2-x}$，
当x≥2时，f（x）=0，
即$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{2-x}，}&{0≤x＜2}\\{0，}&{x≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，根据条件利用赋值法是解决本题的关键．综合性较强，难度相当大．