Question

4．已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a：b：c=7：5：3．
（1）求cosA的值；
（2）若△ABC外接圆的半径为14，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）设a=7t，b=5t，c=3t，由余弦定理即可求cosA的值．
（2）由（1）可得sinA的值，利用已知及正弦定理求出sinA与sinB及sinC的值，再由正弦定理可求a，b的值，利用三角形面积公式即可求出△ABC的面积．

解答 解：（1）由题意可设：a=7t，b=5t，c=3t，
则由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{25{t}^{2}+9{t}^{2}-49{t}^{2}}{30{t}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）可得：sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由正弦定理可得：a：b：c=sinA：sinB：sinC=7：5：3．
从而可得：sinB=$\frac{5sinA}{7}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，sinC=$\frac{3sinA}{7}$=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$=2R，以及R=14，得a=2RsinA=14$\sqrt{3}$，b=2RsinB=10$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×14\sqrt{3}×10\sqrt{3}×\frac{3\sqrt{3}}{14}$=45$\sqrt{3}$．

点评 本题中考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理等知识的综合应用，属于基本知识的考查．