Question

10．如图所示，一个直径AB=2的半圆，过点A作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点S，使AS=AB，C为半圆上的一个动点，M、N分别在SB、SC上，且AN⊥SC，AM⊥SB．
（1）证明：AN⊥BC；
（2）证明：SB⊥面ANM；
（3）求三棱锥S-AMN体积的最大值．

Answer 1

分析 （1）通过证明SA⊥BC，BC⊥AC，利用直线与平面垂直的判定定理证明BC⊥平面SAC，然后证明AN⊥BC．（2）通过证明AN⊥SB，利用直线与平面垂直的判定定理证明SB⊥面ANM．
（3）利用${V_{S-AMN}}=\frac{1}{3}•{S_{△ANM}}•SM$，判断面积最大在AN=MN=1时取得，然后求解体积．

解答 （1）证明：由题意可知：SA⊥平面ABC，BC?平面BAC，∴SA⊥BC，…..（1分）
∵C为半圆上的一个动点，∴BC⊥AC，…..（2分）
∵SA⊥BC，BC⊥AC，AC∩SA=A，AC、SA?平面SAC，
∴BC⊥平面SAC，又AN?平面SAC，∴AN⊥BC．…..（6分）
（2）证明：∵AN⊥BC，AN⊥SC，BC∩SC=C，BC、SC?面SCB，可得AN⊥面SCB，
又SB?平面SCB，∴AN⊥SB，
$\left.\begin{array}{l}AN⊥SB\\ SB⊥AM\\ AN∩AM=A\\ AN、AM?面AMN\end{array}\right\}⇒SB⊥面AMN$…..（9分）（该步骤方法雷同）
（3）解：${V_{S-AMN}}=\frac{1}{3}•{S_{△ANM}}•SM$．由SA=AB=2，
得到$AM=SM=\sqrt{2}$，而AN⊥NM，
∴△AMN为斜边长为$\sqrt{2}$的直角三角形，…（10分）
面积最大在AN=MN=1时取得…（11分）
所以，${V_{S-AMN}}=\frac{1}{3}•{S_{△AMN}}•{h_{SB}}=\frac{1}{3}×（{\frac{1}{2}×1×1}）×\sqrt{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{6}$…..（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理，三棱锥的体积的求法，考查计算能力以及逻辑推理能力．