Question

5．如图，已知抛物线y=ax²（a＞0）．过焦点F的直线与此抛物线交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，设M是点B在y轴上的射影，准线l与y轴交于点N
（1）求证：y₁y₂=$\frac{1}{16{a}^{2}}$；
（2）若AB⊥AN
①求证：y₂-y₁=$\frac{1}{a}$；
②求证：∠MAB=∠MBA．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的焦点和准线方程，设直线AB的方程是：x=m（y-$\frac{1}{4a}$），代入抛物线方程，运用韦达定理，即可得证；
（2）①若AB⊥AN，则AO=ON，由两点的距离公式，结合抛物线方程和（1）的结论，化简即可得证；
②求得M的坐标，运用两点的距离公式求得MA，MB，化简整理，结合前面的结论，即可得到MA=MB，进而得证．

解答 证明：（1）抛物线y=ax²（a＞0）的焦点为（0，$\frac{1}{4a}$），准线为y=-$\frac{1}{4a}$．
设直线AB的方程是：x=m（y-$\frac{1}{4a}$），
代入y=ax²整理得：am²y²-$\frac{{m}^{2}+2}{2}$y+$\frac{{m}^{2}}{16a}$=0，
利用韦达定理，可得y₁y₂=$\frac{1}{16{a}^{2}}$；
（2）①若AB⊥AN，则AO=ON，
即有$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\frac{1}{4a}$，
由y₁=ax₁²，可得
y₁²+$\frac{{y}_{1}}{a}$=$\frac{1}{16{a}^{2}}$，
即有1-16a²y₁²=16ay₁，
则y₂-y₁=$\frac{1}{16{a}^{2}{y}_{1}}$-y₁=$\frac{1-16{a}^{2}{{y}_{1}}^{2}}{16{a}^{2}{y}_{1}}$=$\frac{16a{y}_{1}}{16{a}^{2}{y}_{1}}$=$\frac{1}{a}$；
②M（0，y₂），
MA=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$，
MB=$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}}$，
由于y₂-y₁=ax₂²-ax₁²=$\frac{1}{a}$，
即有x₂²=x₁²+$\frac{1}{{a}^{2}}$．
则MA=MB，
则△MAB为等腰三角形，
即有∠MAB=∠MBA．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的方程和直线方程联立，运用韦达定理，同时考查两点的距离公式的运用，属于中档题．