Question

15．已知函数f（x）=2^x-2的定义域为[1，3]，f（x）的图象上的左、右两个端点分别为A、B，$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$，λ∈[0，1]，O为坐标原点，设点N（3-2λ，f（3-2λ）），若不等式|$\overrightarrow{MN}$|≤k恒成立，则实数k的最小值为（　　）

• A． $\frac{3}{ln2}$+$\frac{3（lo{g}_{2}3）}{ln2}$-1
• B． 3log₂$\frac{3}{ln2}$-$\frac{3}{ln2}$-1
• C． log₂3-3log₂$\frac{3}{ln2}$+1
• D． $\frac{3}{ln2}$-$\frac{3（lo{g}_{2}3）}{ln2}$+1

Answer 1

分析 根据题意，求出M、N点的坐标，得出$\overrightarrow{MN}$的坐标表示，计算|$\overrightarrow{MN}$|的最大值，即可求出k的最小值．

解答 解：∵函数f（x）=2^x-2的定义域为[1，3]，f（x）的图象上的左、右两个端点分别为A、B，
∴A（1，0），B（3，6），
又∵$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$=（λ，0）+（3-3λ，6-6λ）=（3-2λ，6-6λ），
点N（3-2λ，f（3-2λ）），
∴$\overrightarrow{MN}$=（0，f（3-2λ）-6+6λ）=（0，2^3-2λ-8+6λ），
∴|$\overrightarrow{MN}$|=|2^3-2λ-8+6λ|≤k；
设g（x）=2^3-2x-8+6x，x∈[0，1]，
∴g（x）=8•${（\frac{1}{4}）}^{x}$-8+6x，
∴g′（x）=8•ln$\frac{1}{4}$•${（\frac{1}{4}）}^{x}$+6；
令g′（x）=0，解得x=${log}_{\frac{1}{4}}$$\frac{3}{8ln2}$，
∴当x=${log}_{\frac{1}{4}}$$\frac{3}{8ln2}$时，g（x）有最值小是
8•$\frac{3}{8ln2}$-8+6${log}_{\frac{1}{4}}$$\frac{3}{8ln2}$=$\frac{3}{ln2}$-8+6（log₄8+log₄$\frac{ln2}{3}$）=$\frac{3}{ln2}$+3log₂$\frac{ln2}{3}$+1=$\frac{3}{ln2}$-3log₂$\frac{3}{ln2}$+1，
∴|g（x）|≤3log₂$\frac{3}{ln2}$-$\frac{3}{ln2}$-1；
∴k的最小值是3log₂$\frac{3}{ln2}$-$\frac{3}{ln2}$-1．
故选：B．

点评 本题考查了平面向量的应用问题，也考查了利用导数求函数的最值问题，是综合性题目．