Question

17．如图所示，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，当BD、AC满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．

Answer 1

分析 在△ABC中，E、F分别是边AB、BC中点，得到EF∥AC，且EF=$\frac{1}{2}$AC，GH∥AC，且GH=$\frac{1}{2}$AC，得到四边形EFGH是平行四边形，知四边形EFGH是平行四边形，再由AC=BD，得出EH=EF，从而证得四边形EFGH是菱形．对角线相等，推知四边形EFGH是正方形

解答 解：在△ABC中，E、F分别是边AB、BC中点，
所以EF∥AC，且EF=$\frac{1}{2}$AC，
同理有GH∥AC，且GH=$\frac{1}{2}$AC，
∴EF∥GH且EF=GH，
故四边形EFGH是平行四边形．
EH∥BD且EH=$\frac{1}{2}$BD，
若AC=BD，则有EH=EF，
又因为四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
当AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形．

点评 本题主要在空间几何体中考查平面图形的定义；主要利用平面图形中，正方形的判断方法．