Question

13．已知在△ABC中，tanA=$\frac{1}{3}$，tan（A-B）=-$\frac{1}{7}$．
（1）求∠C；
（2）若BC=$\sqrt{10}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两角和的正切公式求得 tanB的值，可得tanC=-tan（A+B）的值，从而求得∠C的值．
（2）利用同角三角函数的基本关系求得sinA和sinB的值，利用正弦定理求得AC的值，可得△ABC的面积为$\frac{1}{2}$•BC•AC•sinC的值．

解答 解：（1）△ABC中，∵tanA=$\frac{1}{3}$，tan（A-B）=-$\frac{1}{7}$=$\frac{tanA-tanB}{1+tanAtanB}$=$\frac{\frac{1}{3}-tanB}{1+\frac{1}{3}tanB}$=$\frac{1-3tanB}{3+tanB}$，
∴-3-tanB=7-21tanB，求得 tanB=$\frac{1}{2}$．
∴tanC=-tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{tanAtanB-1}$=$\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}×\frac{1}{2}-1}$=-1，∴C=135°．
（2）由 tanB=$\frac{1}{2}$，可得sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
由 tanA=$\frac{1}{3}$，可得sinA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，cosA=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
由正弦定理可得$\frac{BC}{sinA}$=$\frac{AC}{sinB}$，即 $\frac{\sqrt{10}}{\frac{\sqrt{10}}{10}}$=$\frac{AC}{\frac{\sqrt{5}}{5}}$，求得AC=2$\sqrt{5}$，
∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}$•BC•AC•sinC=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{10}$•2$\sqrt{5}$•sin135°=5．

点评 本题主要考查两角和的正切公式、诱导公式、同角三角函数的基本关系、正弦定理的应用，属于中档题．