Question

5．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线y²=2x上相异的两点，且在x轴同侧，点C（1，0）．若直线AC，BC的斜率互为相反数，则y₁y₂=2．

Answer 1

分析 运用A，B在抛物线上，满足抛物线方程，再由直线的斜率公式，化简整理计算即可得到所求值．

解答 解：由题意可得，y₁²=2x₁，y₂²=2x₂，
k_AC=$\frac{{y}_{1}-0}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}-1}$，k_BC=$\frac{{y}_{2}-0}{\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}-1}$，
若直线AC，BC的斜率互为相反数，
则k_AC+k_BC=0，
即为$\frac{2{y}_{1}}{{{y}_{1}}^{2}-2}$+$\frac{2{y}_{2}}{{{y}_{2}}^{2}-2}$=0，
即y₁y₂²-2y₁+y_i²y₂-2y₂=0，
即为（y₁y₂-2）（y₁+y₂）=0，
由于y₁y₂＞0，即y₁y₂=2．
故答案为：2．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，以及直线的斜率公式，考查化简整理的能力，属于中档题．